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    <title>群 (中)</title>
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</head>
<body>

<!--
<h2>同余</h2>

<p class="definition">
	令 `S` 为一半群, `rho` 为 `S` 上的一个等价关系.
	称 `rho` 为 `S` 上一<b>左同余 (右同余)</b>, 如果对任意 `a, b, c in S`,
	<span class="formula">
		`a rho b rArr (c a) rho (c b)`,<br/>
		`(a rho b rArr (a c) rho (b c))`.
	</span>
	如果 `rho` 同时是左, 右同余, 则称它为 `S` 上一<b>同余</b>.
	`S` 上的全体左同余, 右同余, 同余的集合分别记为 `cc C_l(S)`,
	`cc C_r(S)`, `cc C(S)`.
</p>

<ol class="corollary">
	<b>同余的等价条件</b>
	令 `S` 为一半群, `rho` 为 `S` 上的一个等价关系, 则下列各款等价:
	<li>`rho` 为一同余;</li>
	<li>`(AA a, b, c, d in S)` `a rho b and c rho d`
		`rArr (a c) rho (b d)`;
	</li>
	<li>`(AA a, b in S)` `(AA x, y in S^1)` a rho b rArr (x a y) rho (x b
		y)`, 其中 `S^1` 是由 `S` 扩张得到的幺半群;
	</li>
	<li>`(AA a, b in S)` `a rho xx b rho := {x y | x in a rho, y in b rho}
		sube (a b) rho` (即, 商集 `S/rho`
		中任二等价类关于集合的乘积包含在另一等价类中).
	</li>
</ol>
-->

<h2>陪集与 Lagrange 定理</h2>

<h3>陪集 (coset)</h3>

<p class="definition">
	设群 `H le G`, `a in G`,
	<span class="formula">
		`a H := {a h | h in H}`, `quad H a := {h a | h in H}`
	</span>
  分别称为 `H` 关于 `a` 的<b>左陪集</b>和<b>右陪集</b>.
  左陪集 `a H` 是 `H` 中全体元素在左平移变换 `l_a: h to a h` 下的像.
  一般情况下, 陪集并不是 `G` 的子群.
</p>

<p class="remark">
  以下主要讨论左陪集, 右陪集是完全类似的.
</p>

<p class="example">
  整数加群 `ZZ` 中, 子群 `3ZZ` 表示所有 3 的倍数. 它的陪集有 3 个:
  <span class="formula">
    `3 ZZ`, `3 ZZ + 1`, `3 ZZ + 2`,
  </span>
  每个陪集中的元素是模 3 同余的.
</p>

<p class="definition">
  群 `G` 中, 子集的乘积和逆分别定义为
  <span class="formula">
    `H K = {h k | h in H, k in K}`,
    `quad H^-1 = {h^-1 | h in H}`;
  </span>
  显然 `H le G` 当且仅当 `H H = H` 且 `H^-1 = H`.
</p>

<p class="corollary">
	设群 `H le G`, `a, b in G`, 则
  <span class="formula">
    `b in a H` `iff a H = b H` `iff a^-1 b in H`.
  </span>
  它们都描述了同一件事: `a, b` 相差一个 `H` 中的因子.
</p>

<ol class="proof">
	用元素的语言:
	<li>`rArr` 2. 由 `b in a H` 知 `EE h in H` 使 `b = a h`, `a = b h^-1`.
		任取 `a h_1 in a H` 有 `a h_1 = b h^-1 h_1 in b H`;
		另一方面, 任取 `b h_2 in b H` 有 `b h_2 = a h h_2 in a H`,
    所以 `a H = b H`.
	</li>
	<li>`rArr` 3. 任取 `a h_1 in a H`, 则 `EE h_2 in H` 使 `a h_1 = b h_2`.
		所以 `a^-1 b = h_1 h_2^-1 in H`.
	</li>
	<li>`rArr` 1. 因为 `a^-1 b in H`, 所以 `b = a a^-1 b in a H`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	用集合的语言:
	<li>`rArr` 2.
		由 `b in a H` 有 `b H sube (a H) H = a H`;
		另一方面, 由 `b in a H` 知 `a in b H^-1 = b H`,
		用类似的论证得 `a H sube b H`, 故 `a H = b H`.
	</li>
	<li>`rArr` 3.  由 `a H = b H` 得 `b^-1 a in H H^-1 = H`.</li>
	<li>`rArr` 1.  同时左乘 `a` 即可.</li>
</ol>

<p class="example">
  数论中的例子: `a H` 表示所有模 `n` 余 `a` 的整数, 则
  <span class="formula">
    `b in a + n ZZ` `iff a + n ZZ = b + n ZZ` `iff b - a in n ZZ`.
  </span>
  "陪集" 是 "剩余" 的概念在群论的延伸.
</p>

<p class="definition">
  <b>子群 `H` 确定的陪集划分</b>
  设 `H` 是 `G` 的子群, 如果我们把相差一个 `H` 中因子的 `a, b` 视为相等, 即,
  定义 `sigma_H^l`: `a ~ b iff a H = b H`, 可以验证 `sigma_H^l` 构成
  `G` 上的等价关系, 称为 `G` 上的一个<b>同余</b>.
  因为 `b ~ a` 当且仅当 `b in a H`, 所以 `a in G` 所在的等价类就是 `a H`.
  该等价关系给出 `G` 上的划分:
  <span class="formula">
    `pi_H^l := { a H | a in G }`.
  </span>
  类似地, `H` 的右陪集确定了等价关系 `sigma_H^r` 和相应的划分 `pi_H^r`.
</p>

<p class="remark">
  在有限群 `G` 中, 任意元素属于且仅属于下面的一个陪集:
  <span class="formula">
    `H, a_1 H, a_2 H, cdots, a_n H`.
  </span>
  其中只有 `H` 是子群, 其它的陪集不含单位元, 因而不构成子群.
  我们将很快看到, 陪集的结构和 `H` 非常类似, 它是 `H` 在平移变换下的像,
  是 `H` 在 `G` 中的“陪衬”.
</p>

<h3>Lagrange 定理</h3>

<p>陪集有多少个? 每个陪集中有多少元素? Lagrange 定理可以回答这些问题.</p>

<p class="lemma">
	子群 `H` 在 `G` 中左右陪集数相等, 称为它的<b>指数</b>
  <span class="formula">
    `[G : H] := |pi_H^l| = |pi_H^r|`.
  </span>
</p>

<p class="proof">
  为证明两个集合基数相等, 我们构造它们之间的双射.
	作 `varphi: a H in pi_H^l to H a^-1 in pi_H^r`.
	由 `a H = b H iff a^-1 b in H`
	`iff b^-1 (a^-1)^-1 in H`
	`iff H a^-1 = H b^-1` 知, `varphi` 为一映射, 且为一单射.
	又, 关于任意 `H a in pi_H^r`, `a^-1 H` 是其原像, 从而 `varphi`
	为一满射. 所以 `varphi` 为双射.
</p>

<p class="lemma">
  子群 `H` 的每个陪集大小相同, 即 `AA a in G`,
  <span class="formula">
    `|a H| = |H a| = |H|`.
  </span>
  这说明陪集对群的划分是均匀的.
</p>

<p class="proof">
	考虑左平移变换 `l_a: h in H to a h in a H`. 显然它是满射.
  又因为群上的左平移变换是单射 (根据消去律), 所以 `l_a` 是双射,
  `|H| = |a H|`.  同理 `|H| = |H a|`.
</p>

<p class="theorem">
	<b>Lagrange 定理</b>
	令 `G` 为一有限群, `H le G`, 则由两个引理,
  `G` 的大小等于每个陪集的大小乘以陪集数, 即
	<span class="formula">
		`|G| = [G : H] |H|`.
	</span>
	因此, `G` 的任意子群的阶和指数都整除 `|G|`.
	特别 `G` 的任意元素 `a` 的阶都整除 `|G|` (考虑 `a` 生成的循环群,
  该子群的阶等于 `|a|`, 且整除 `|G|`).
</p>

<p class="corollary">
	素数阶群是循环群.
</p>

<p class="proof">
	设 `|G| = p` 为一素数. 任取非单位元 `a in G`, 则 `|a| != 1`,
	由 Lagrange 定理, `|a| = p`, 故 `(:a:) = G`.
</p>

<h2>正规子群与商群</h2>

<h3>正规子群</h3>

<p> 一般来说, 由于群的乘法未必可交换, 左, 右陪集 `a H, H a` 是不相等的.
  但如果它们相等的话, 会带来许多好的性质, 这就引出正规子群的定义.
</p>

<p class="definition">
	如果 `G` 的子群 `H` 满足 `AA a in G`, `a H = H a`,
	则称 `H` 为 `G` 的一个<b>正规子群 (normal subgroup, 或不变子群,
	或自共轭子群)</b>, 记为 `H normal G`.
</p>

<p class="remark">
	正规子群的定义可以减弱为: `H` 的每一个左陪集都是一个右陪集, 即
	<span class="formula">
		`(AA a in G)` `(EE b in G)` `a H = H b`.
	</span>
	事实上, 由 `a in a H = H b` 知 `H b = H a`
	这就证明了那个存在的右陪集其实就是 `H a` 自己.
</p>

<ol class="corollary">
	<b>正规子群的等价条件</b>
	令 `H` 是 `G` 的子群, 则下列各款等价:
	<li>`H normal G`;</li>
	<li>`(AA a in G)` `a H a^-1 = H`;
		这就是正规子群又称自共轭子群的原因;
	</li>
	<li>`(AA a in G)` `a H a^-1 sube H`;
		这是实用的判定条件, 也可以写成 `G H G^-1 sube H`.
	</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`rArr` 2. `AA a in G`, 由 `a H = H a` 知
		<span class="formula">
			`a H a^-1 = H a a^-1 = H`.
		</span>
	</li>
	<li>`rArr` 3. 显然.</li>
	<li>`rArr` 1.
    `AA a in G`, 由 `a H a^-1 sube H` 同时右乘 `a` 有 `a H sube H a`;
    另一方面, 由 `a^-1 H (a^-1)^-1 sube H` 同时左乘 `a` 有 `H a sube a H`.
    于是 `a H = H a`.
	</li>
</ol>

<p class="remark">
  正规子群是由若干不相交共轭类组成的. 为寻找一个群的正规子群,
  可以从共轭类着手.
</p>

<ol class="example">
	<li>`G`, `{e}`, 是 `G` 的两个<b>平凡正规子群</b>;</li>
	<li>群的中心 `Z(G)` 是正规子群;</li>
	<li>Abel 群的任一子群都是正规子群;</li>
  <li>`SL_n(bbb F) normal GL_n(bbb F)`.</li>
  <li>`2n` 阶群中, `n` 阶子群是正规子群, 如 `A_n normal S_n`.
    不是所有 `2n` 阶群都有这样的子群, 如, 后面将证明 `A_5`
    只有平凡正规子群, 但它的确是偶数阶 (60) 的.
  </li>
</ol>

<p class="proof">
  5. 任取 `g in G\\H`, 则 `g H != H`, 因此 `g H = G\\H`.
	同理 `H g = G\\H`, 因此 `g H = H g`.
</p>

<p class="theorem">
	令 `G, H` 为两个群, `f: G to H` 为群同态, 则
	<span class="formula">
		`G_1 normal G rArr f(G_1) normal f(G)`,<br/>
		`H_1 normal H rArr f^-1(H_1) normal f^-1(H) = G`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	由子群的相关定理, 有 `f(G_1) le f(G)`, `f^-1(H_1) le G`.
	下面只需验证子群的正规性.
	`AA h in f(G)`, 存在 `g in G` 使 `f(g) = h`.
	从而由 `G_1 normal G` 知
	<span class="formula">
		`h f(G_1) h^-1 = f(g) f(G_1) f(g)^-1 = f(g G_1 g^-1)`
		`= f(G_1)`,
	</span>
	所以 `f(G_1) normal f(G)`.
	<br/> 另一方面,
	由集合论的等式有 `f(f^-1(H_1)) sube H_1`. 从而由 `H_1 normal H` 知
	`AA g in G`,
	<span class="formula">
		`f(g f^-1(H_1) g^-1) sube f(g) H_1 f(g)^-1 = H_1`,
	</span>
	即 `g f^-1(H_1) g^-1 sube f^-1(H_1)`, 因此 `f^-1(H_1) normal G`.
</p>

<p class="corollary">
  群同态的核是正规子群: `"Ker"f = f^-1(e_H) normal G`.
</p>

<ol class="theorem">
	令 `G` 为一群, `H, K` 是 `G` 的两个子群, 则
	<li>`H normal G` `rArr H nn K normal G nn K = K`;</li>
	<li>`H normal G and H le K le G` `rArr H normal K`.</li>
	<li>`H normal G or K normal G` `rArr H K le G`;</li>
	<li>`H normal G and K normal G` `rArr H K normal G`;</li>
	<li>`H normal G and K normal G` `rArr H nn K normal G`;</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>显然 `H nn K le K`; 由 `H normal G` 知
		`K (H nn K) K^-1 sube G H G^-1 = H`,
		又 `K (H nn K) K^-1 sube K`,
		所以 `K (H nn K) K^-1 sube H nn K`,
		即 `H nn K normal K`.
	</li>
	<li>这是显然的, 因为 `AA a in K sube G`, `a H = H a`.
		当然, 也可以由 1. 得到: `H normal G`
		`rArr H nn K normal G nn K`, 即 `H normal K`.
	</li>
	<li>不妨设 `H normal G`.
		任取 `h k in H K`, 其中 `h in H`, `k in K sube G`, 则
		`h k in H k = k H sube K H`, 因此 `H K sube K H`.
		同理 `K H sube H K`, 因此 `H K = K H`.
		从而由子群的积是子群的充要条件知 `H K le G`.
	</li>
	<li>由 3, `H K le G`, 从而由 `H, K normal G` 知, `AA g in G`,
		<span class="formula">
			`g (H K) = (g H) K = (H g) K = H (g K)`
			`= H (K g) = (H K) g`.
		</span>
		因此 `H K normal G`.
	</li>
	<li>显然 `H nn K le G`; 由 `H, K normal G` 知
		`G (H nn K) G^-1 sube G H G^-1 = H`,
		`G (H nn K) G^-1 sube G K G^-1 = K`,
		因此 `G (H nn K) G^-1 sube H nn K`, 即 `H nn K normal G`.<br/>
	</li>
</ol>

<p class="remark">
  从群中选出一个正规子群的过程好比选举班干部: 比如 `H le K le G`,
  如果 `H normal G`, 代表 `H` 的“正规性”已经在 `G` 中得到认可,
  那么 `H` 在 `G` 的子群 `K` 中自然也是正规的, 即 `H normal K`.
</p>

<p class="remark">
	子群的正规性一般不具有传递性, 即 `K normal H normal G` 未必推出 `K
	normal G`.
</p>

<p class="example">
	`K_4 := {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}`
	称为 <b>Klein 四元群</b>. 可验证 `K_4` 是 Abel 群.
	`K_4` 又可写作 `{e, a, b, c}`, 满足下面的乘法表:
</p>

<table>
	<tr>
		<td></td>
		<td>`e`</td>
		<td>`a`</td>
		<td>`b`</td>
		<td>`c`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`e`</td>
		<td>`e`</td>
		<td>`a`</td>
		<td>`b`</td>
		<td>`c`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`a`</td>
		<td>`a`</td>
		<td>`e`</td>
		<td>`c`</td>
		<td>`b`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`b`</td>
		<td>`b`</td>
		<td>`c`</td>
		<td>`e`</td>
		<td>`a`</td>
	</tr>
	<tr>
		<td>`c`</td>
		<td>`c`</td>
		<td>`b`</td>
		<td>`a`</td>
		<td>`e`</td>
	</tr>
</table>

<div class="example">
  <b>`A_4` 的正规子群</b>
  令 `H = C_3`, 它只含偶置换, 是 `A_4` 的子群. 将 `A_4` 划分为 `H` 的陪集:
  首先 `H` 自己是一个陪集, 然后任取 `a in A_4\\H`, 将 `a` 的左平移作用于
  `H` 的每个元素, 就得到一个新的陪集 `aH`. 类似地,
  在这两个陪集之外再取新的元素 `b`, 得到陪集 `bH`...
  <table>
    <tr>
      <th>H</th>
      <th>aH</th>
      <th>bH</th>
      <th>cH</th>
    </tr>
    <tr>
      <td>(1)</td>
      <td>(234)</td>
      <td>(432)</td>
      <td>(124)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(123)</td>
      <td>(13)(24)</td>
      <td>(143)</td>
      <td>(14)(23)</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>(312)</td>
      <td>(214)</td>
      <td>(34)(21)</td>
      <td>(341)</td>
    </tr>
  </table>
  `(123) in C_3` 在 `sigma = (234) in A_4` 的共轭下变成
  `(sigma(1) sigma(2) sigma(3)) = (134) !in C_3`, 因此 `C_3` 不是 `A_4`
  的正规子群. 另一方面, 可以验证
  <span class="formula">
    `K_4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}`
  </span>
  的任意元素被 `A_4` 中的元素共轭后仍属于 `K_4`, 因此 `K_4 normal A_4`.
  事实上, `K_4` 是 `S_4` 的正规子群.
</div>

<h3>商群</h3>

<p class="definition">
	令 `G` 为一群, `N normal G`.
	易知上节定义的 `pi_N^l = pi_N^r`.
	现在定义
	<span class="formula">
		`G // N := pi_N^l = {a N | a in G}`
	</span>
	上的二元合成 `*` 如下
	<span class="formula">
		`a N * b N := (a b)N`.
	</span>
	可以验证 `*` 是映射, 因此是一个二元运算.
	且 `G//N` 关于 `*` 成一群,
	称其为 `G` 关于 `N` 的<b>商群 (factor group)</b>.
	直观上, 商群是将正规子群 `N` "收缩" 或 "粘合" 为一个点 (单位元)
	后得到的群.
</p>

<p class="proof">
	映射的良定义验证:
	<span class="formula">
		`a_1 N = a_2 N`, `b_1 N = b_2 N`
		`rArr (a_1 b_1) N = a_1 (b_1 N)`
		`= a_1 (b_2 N) = a_1 (N b_2)`
		`= (a_1 N) b_2 = (a_2 N) b_2`
		`= a_2 (N b_2) = a_2 (b_2 N)`
		`= (a_2 b_2) N`.
	</span>
	群的验证:
	封闭性: 显然; 幺元: `N`; 逆元: `(a N)^-1 = a^-1 N`;
	结合律: `(a N*b N)*c N = (a b)c N = a(b c)N = a N*(b N*c N)`.
</p>

<p class="corollary">
	设群 `N normal G`, 则 `G//N = {bar e} iff N = G`.
</p>

<p class="corollary" id="factor-group-surject-homomorphism">
	设群 `N normal G`,
	映射 `eta: a in G to a N in G//N` 是满同态, 称为<b>自然同态</b>.
</p>

<p class="corollary">
	设群 `N normal G_1`, `N normal G_2`, 且 `G_1 le G_2`.
	则 `G_1 normal G_2 iff G_1//N normal G_2//N`.
</p>

<p class="proof">
	取自然同态 `eta: G_2 to G_2//N`.<br/>
	"`rArr`". 由同态像保持正规子群的关系, `G_1 normal G_2 rArr eta(G_1)
	normal eta(G_2)`, 即 `G_1//N normal G_2//N`.<br/>
	"`lArr`". 只需验证 `G_1//N` 在自然同态 `eta` 下的原像 `eta^-1(G_1//N)
	= G_1`. 由 `eta(G_1) = G_1//N`, 有 `G_1 sube eta^-1(G_1//N)`, 反之设
	`g in G_2`, `g N in G_1//N`, 则存在 `g_1 in G_1`, 使 `g N = g_1 N`, 即
	`g in g_1 N sube G_1`. 从而 `eta^-1(G_1//N) sube G_1`. 于是 `G_1//N
	normal G_2//N rArr eta^-1(G_1//N) normal eta^-1(G_2//N)`, 即 `G_1
	normal G_2`.
</p>

<p class="corollary">
	由 Lagrange 定理, 当 `|G| lt oo` 时 `|G // N| = |G| // |N|`.
</p>

<p class="remark">
	商群相关的映射, 常常需要验证其映射的良定义. 不过,
	商群相关的映射又常常显然是满射. 这就简化了证明.
</p>

<h2>群同态基本定理, 两个同构定理</h2>

<p class="lemma">
	令 `f: G to H` 为一群同态映射, 则 `f`
	可分解为一群满同态映射 `h` 和一群单同态 `g` 映射的合成, 即
	`f = g @ h`.
</p>

<p class="proof">
	构造性证明:
	易知 `"Ker"f normal G`. 作
	<span class="formula">
		`h: a in G to a "Ker"f in G//"Ker"f`,<br/>
		`g: a "Ker"f in G//"Ker"f to f(a) in H`.
	</span>
	则由<a class="ref" href="#factor-group-surject-homomorphism"></a>,
	`h` 为一满同态. 而 `g` 为一单同态. 事实上, 由
	<span class="formula">
		`a "Ker"f = b "Ker"f`
		`iff f(a) = f(b)`
		`iff g(a "Ker"f) = g(b "Ker"f)`
	</span>
	知, `g` 为一映射, 且为单射, 另外
	<span class="formula">
		`g(a"Ker"f * b"Ker"f)`
		`= g((a b)"Ker"f) = f(a b)`
		`= f(a) f(b) = g(a"Ker"f) g(b"Ker"f)`,
	</span>
	所以 `g` 为一同态.
	最后, 容易看出 `f = g @ h`.
</p>

<p class="remark">
	联系集合论中的定理: 令 `f: A to B` 为一映射, 则 `f` 可分解为一满射 `h:
	A to C` 和一单射 `g: C to B` 的合成, 即 `f = g @ h`.
</p>

<p class="theorem">
	<b>群同态基本定理</b>
	令 `f: G to H` 为一群同态映射, 则
	<span class="formula">
		`G//"Ker"f ~= "Im"f`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	由引理, `f` 有分解 `f = g @ h`, `g` 是到 `"Im"f` 的满射. 因此
	`g` 为到 `"Im"f` 的同构映射.
</p>

<p class="lemma">
	令 `f: G to H` 为一群同态映射, 则 `AA G_1 le G`,
	`f^-1(f(G_1)) = G_1` 当且仅当 `"Ker"f le G_1`.
</p>

<p class="proof">
	若 `f^-1(f(G_1)) = G_1`,
	显然 `"Ker"f` 为一群, 因此只需证 `"Ker"f sube G_1`.  则
	<span class="formula">
		`"Ker"f = f^-1(e_H) sube f^-1(f(G_1)) = G_1`.
	</span>
	反之, 令 `"Ker"f le G_1`.
	由集合论的知识知道, 恒成立 `f^-1(f(G_1)) supe G_1`,
	因此只需证 `f^-1(f(G_1)) sube G_1`.
	`AA a in f^-1(f(G_1))`, 存在 `b in G_1`, 使 `f(a) = f(b)`,
	从而 `e_H = f(a)f(b)^-1 = f(a b^-1)`, 即 `a b^-1 in "Ker"f le G_1`,
	因此 `a = (a b^-1) b in G_1`, 即 `f^-1(f(G_1)) sube G_1`.
</p>

<p class="lemma" id="lem-ker-in-g">
	令 `f: G to H` 为一群满同态映射,
	<span class="formula">
		`S = {G_1 | "Ker"f le G_1 le G}`,<br/>
		`S_1 = {H_1 | H_1 le H}`.
	</span>
	则 `|S| = |S_1|`, 即 `G` 中含 `"Ker"f` 的子群与 `H` 中的子群一一对应.
</p>

<p class="proof">
	作 `eta: G_1 in S to f(G_1) in S_1`,
	则由子群在群同态映射下的像也为一子群知, `eta` 为一映射.
	任取 `H_1 in S_1`, 则 `f^-1(H_1) in S` (注意 `"Ker"f = f^-1(e_H)
	sube f^-1(H_1)`),
	且由 `f` 为满射知, `f(f^-1(H_1)) = H_1`. 故 `eta` 为一满射.
	根据<a class="ref" href="#lem-ker-in-g"></a>,
	<span class="formula">
		`f(G_1) = f(G_2) iff f^-1(f(G_1)) = f^-1(f(G_1))`
		`iff G_1 = G_2`.
	</span>
	从而 `eta` 为一单射, 于是 `eta` 为一双射.
</p>

<p class="remark">
	由正规子群在满同态映射下的像和原像也是正规子群知,
	将上述引理的子群换成正规子群, 结论也成立.
</p>

<p class="theorem">
	<b>第一同构定理</b>
	令 `f` 是群 `G` 上的同态映射, `H` 是 `G` 的含 `"Ker"f` 的正规子群,
	则
	<span class="formula">
		`G//H ~= f(G)//f(H)`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	显然 `f(H) normal f(G)`. 作
	`eta: a H in G//H to f(a) f(H) in f(G)//f(H)`.
	由
	<span class="formula">
		`a H = b H`
		`iff a^-1 b in H`
		`iff f(a^-1 b) in f(H)`
		`iff f(a)^-1 f(b) in f(H)`
		`iff f(a) f(H) = f(b) f(H)`
	</span>
	(其中由 `f(a^-1 b) in f(H)` 得出 `a^-1 b in H`, 利用了<a class="ref"
	href="#lem-ker-in-g"></a>)
	知, `eta` 为一映射, 且为一单射. 又显然 `eta` 为满射. 从而 `eta`
	为一双射. 又
	<span class="formula">
		`eta(a H b H) = eta((a b) H) = f(a b)f(H)`
		`= (f(a)f(b)) f(H) = (f(a)f(H))(f(b)f(H)) = eta(a H)eta(b H)`.
	</span>
	因此 `eta` 为一同构映射.
</p>

<p class="corollary">
	<b>商群同构定理</b>
	令 `G` 为一群, `K, H normal G`, `K le H`. 则
	<span class="formula">
		`G//H ~= (G//K)//(H//K)`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	由条件知 `K normal H`. 取满同态 `f: g in G to g K in G//K`,
	则 `"Ker"f = f^-1(e K) = K sube H`.
	应用第一同构定理即得结论.
</p>

<p class="corollary">
	设群 `K, H normal G`, `K le H`, 则
	<span class="formula">
		`H//K = G//K iff H = G`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	<b>第二同构定理</b>
	令 `G` 为一群, `H normal G`, `K le G`. 则
	<span class="formula">
		`K H//H ~= K//(K nn H)`.
	</span>
</p>

<p class="remark">
	易知 `K nn H normal K nn G = K`, `K H le G`. 显然 `H le K H`, 从而由
	`H normal G` 知 `H normal K H`.
</p>

<p class="proof">
	`AA k in K, h in H`, `(k h) H = k (h H) = k H`. 作
	<span class="formula">
		`f: k H in K H//H to k(K nn H) in K//(K nn H)`.
	</span>
	由
	<span class="formula">
		`k_1 H = k_2 H`
		`iff k_1^-1 k_2 in H`
		`iff k_1^-1 k_2 in H nn K`
		`iff k_1 (H nn K) = k_2 (H nn K)`
	</span>
	知, `f` 为一映射, 且为一单射. 显然 `f` 为一满射, 从而 `f` 为一双射.
	又
	<span class="formula">
		`f(k_1 H k_2 H) = f(k_1 k_2 H) = k_1 k_2 (K nn H)`
		`= k_1(K nn H) k_2 (K nn H) = f(k_1 H) f(k_2 H)`,
	</span>
	故 `f` 为一同态映射, 从而 `f` 为一同构映射.
</p>

<p class="proof">
	作满同态 `varphi: k in K to k H in K H // H`, 又 `AA k in K`,
	`k in "Ker"varphi iff k H = H`
	`iff k in H iff k in H nn H`,
	从而 `"Ker"varphi = K nn H`. 于是由同态基本定理即得结论.
</p>

<h2>群的直积</h2>

<p class="definition">
	令 `G_1`, `G_2` 为两个群, 定义 `G_1 xx G_2` 上的二元合成 `*` 如下:
	<span class="formula">
		`(a, b) * (c, d) := (a c, b d)`,
	</span>
    即对应分量相乘.
	可以验证 `(G_1 xx G_2, *)` 成一群, 称其为群 `G_1, G_2` 的<b>直积</b>.
  特别当 `G_1, G_2` 为 Abel 群时, `G_1 xx G_2` 也为 Abel 群,
	称为 `G_1, G_2` 的<b>直和</b> `G_1 o+ G_2`.
</p>

<p class="remark">
  直积的概念容易推广到多个群的情形.
</p>

<p class="definition">
	令 `G` 为一群, `G_1, G_2 normal G`. 若
	`G = G_1 G_2`, 且 `G` 的任一元素表为 `G_1, G_2` 中元素乘积的方式惟一,
	则称 `G` 是 `G_1, G_2` 的<b>内直积</b>.
</p>

<p class="remark">
	线性空间的直和就是群的内直积的一个例子.
</p>

<ol class="corollary">
	<b>内直积的等价条件</b>
	设 `e` 是群 `G` 的幺元, `G_1, G_2 normal G`, 且 `G = G_1 G_2`.
	则以下各款等价:
	<li>`G` 是 `G_1, G_2` 的内直积;</li>
	<li>`G` 中存在一元素, 表为 `G_1, G_2` 中元素乘积的方式惟一;</li>
	<li>`G` 的幺元表为 `G_1, G_2` 中元素乘积的方式是惟一的, 即 `e = e e`;
	</li>
	<li>`G_1 nn G_2 = {e}`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`rArr` 2. 显然.</li>
	<li>`rArr` 3. 设 `g = g_1 g_2` 是元素 `g in G` 的惟一分解, 其中 `g_1
		in G_1`, `g_2 in G_2`.
		设 `e = a b`, 其中 `a in G_1`, `b in G_2`, 则
		<span class="formula">
			`g = g_1 g_2 e = g_1 g_2 a b = g_1 (g_2 a g_2^-1) g_2 b`,
		</span>
		其中 `g_1 (g_2 a g_2^-1) in G_1`, `g_2 b in G_2`.
		由 `g = g_1 g_2` 是惟一分解知
		`g_1(g_2 a g_2^-1) = g_1`, `g_2 b = g_2`.
		从而 `a = b = e`.
	</li>
	<li>`rArr` 4. 若 `g in G_1 nn G_2`,
		由 `G_1 nn G_2 le G` 知 `g^-1 in G_1 nn G_2`,
		于是 `e = g g^-1`. 但 `e = e e` 是幺元的惟一分解,
		所以 `g = e`.
	</li>
	<li>`rArr` 1. 设存在元素 `g = g_1 g_2 = h_1 h_2`,
		其中 `g_1, h_1 in G_1`, `g_2, h_2 in G_2`.
		则 `h_1^-1 g_1 = h_2 g_2^-1 in G_1 nn G_2`,
		由 `G_1 nn G_2 = {e}` 知, `h_1 = g_1`, `h_2 = g_2`.
	</li>
</ol>

<p class="theorem">
	令群 `G` 是 `G_1, G_2` 的内直积, 则 `G_1, G_2` 之间元素的乘积可交换,
	即
	<span class="formula">
		`(AA g_1 in G_1, g_2 in G_2)`
		`g_1 g_2 = g_2 g_1`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	(利用换位子的概念, 见可解群一节) `AA g_1 in G_1, g_2 in G_2`,
	由 `G_1, G_2 normal G` 知
	<span class="formula">
		`g_1 g_2 g_1^-1 g_2^-1 = g_1 (g_2 g_1^-1 g_2^-1) in G_1`,<br/>
		`g_1 g_2 g_1^-1 g_2^-1 = (g_1 g_2 g_1^-1) g_2^-1 in G_2`.
	</span>
	从而 `g_1 g_2 g_1^-1 g_2^-1 in G_1 nn G_2`,
	因此 `g_1 g_2 g_1^-1 g_2^-1 = e`, 即 `g_1 g_2 = g_2 g_1`.
</p>

<p class="lemma">
	设 `e_1, e_2` 分别为群 `G_1, G_2` 的幺元. 定义
	<span class="formula">
		`bar G_1 = {(a, e_2) | a in G_1}`,
		`quad bar G_2 = {(e_1, b) | b in G_2}`.
	</span>
	则 `G_1 ~= bar G_1`, `G_2 ~= bar G_2`.
</p>

<p class="proof">
	作 `varphi: g in G_1 to (g, e_2) in bar G_1`, 显然 `varphi`
  为一双射. 又 `AA g, h in G_1`,
  <span class="formula">
    `varphi(g h) = (g h, e_2) = (g, e_2) (h, e_2) = varphi(g)
    varphi(h)`.
  </span>
  从而 `varphi` 为一同态. 因此 `varphi` 是同构映射, 从而 `G_1 ~= bar
  G_1`. 同理 `G_2 ~= bar G_2`.
</p>

<p class="theorem">
	`G_1 xx G_2` 是 `G_1, G_2` 的内直积;
  反之, `G_1, G_2` 的任一内直积同构于 `G_1 xx G_2`.
  此定理表明, 内直积与直积是一样的, 我们对它们不作区分.
</p>

<ol class="proof">
	<li>由引理知, `bar G_1, bar G_2 le G_1 xx G_2`.
		又 `AA (g_1, g_2) in G_1 xx G_2`, `(g, e_2) in bar G_1`,
		<span class="formula">
			`(g_1, g_2)(g, e_2)(g_1, g_2)^-1`
			`= (g_1, g_2)(g, e_2)(g_1^-1, g_2^-1)`
			`= (g_1 g g_1^-1, g_2 e_2 g_2^-1)`
			`= (g_1 g g_1^-1, e_2) in bar G_1`.
		</span>
		因此 `bar G_1 normal G_1 xx G_2`, 同理 `bar G_2 normal G_1 xx
		G_2`.</br>
		显然 `G_1 xx G_2 supe bar G_1 bar G_2`; 另一方面,
		`AA (a, b) in G_1 xx G_2`, `(a, b) = (a, e_2) xx (e_1, b)`.
		所以 `G_1 xx G_2 = bar G_1 bar G_2`, 且 `G_1 xx G_2`
		中的任意元素表为 `bar G_1, bar G_2` 中元素乘积的方式惟一.
	</li>
	<li>作映射 `varphi (g_1, g_2) in G_1 xx G_2 to g_1 g_2 in G`.
		由于 `G` 中元素都能表为 `G_1, G_2` 中元素乘积, 所以 `varphi`
		为一满射. 再由 `G` 中元素表为 `G_1, G_2` 中元素乘积的惟一性,
		<span class="formula">
			`varphi(g_1, g_2) = varphi(h_1, h_2)`
			`iff g_1 g_2 = h_1 h_2`
			`iff g_1 = h_1 and g_2 = h_2`
			`iff (g_1, g_2) = (h_1, h_2)`.
		</span>
		从而 `varphi` 为一单射.
		(注: 这里的证明体现了集合论中 "满射决定原像存在性,
		单射决定原像惟一性" 的道理)
	</li>
	<li>`AA (g_1, g_2), (h_1, h_2) in G_1 xx G_2`,
		注意到 `G_1, G_2` 之间元素的乘积可交换, 于是
		<span class="formula">
			`varphi((g_1, g_2)(h_1, h_2))`
			`= varphi(g_1 h_1, g_2 h_2)`
			`= g_1 h_1 g_2 h_2`
			`= g_1 g_2 h_1 h_2`
			`= varphi(g_1, g_2) varphi(h_1, h_2)`.
		</span>
		于是 `varphi` 为一同态映射, 从而是同构映射.
	</li>
</ol>

<h2>1 到 10 阶群的结构</h2>

<p>每一栏的种类数恰好是 `n` 的素因子个数.</p>

<table class="col2">
  <tr>
    <td>1</td> <td>`{e}`</td>
    <td>6</td> <td>`ZZ_6`, `D_6 ~= S_3`</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>2</td> <td>`ZZ_2`</td>
    <td>7</td> <td>`ZZ_7`</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>3</td> <td>`ZZ_3`</td>
    <td>8</td> <td>`ZZ_8`, `D_8`, `Q_8`</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>4</td> <td>`ZZ_4`, `D_4 ~= K_4`</td>
    <td>9</td> <td>`ZZ_9`, `ZZ_3 xx ZZ_3`</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>5</td> <td>`ZZ_5`</td>
    <td>10</td> <td>`ZZ_10`, `D_10`</td>
  </tr>
</table>

<script src="../../js/note.js?type=math"></script>
</body>
</html>
